Das Bild ist als stereographische Projektion aus der 3-Sphäre in den R^3 hergestellt. Die einzelnen Kreise liegen auf der Äquatorsphäre, deren Inneres ist Bild der halben 3-Sphäre. Zu sehen sind 15 Dodekaeder, die zu eine Pflasterung der 3-Sphäre mit 120 Dodekaedern gehören. Man erkennt, daß 10 Dodekaeder längs eines Großkreises zu einem geschlossenen Ring zusamen passen. Daher ist der Inkugelradius eines dieser Dodekaeder p/10. Die Diederwinkel an den Kanten sind p/3, so daß um jede Kante drei Dodekaeder lückenlos zusammenpassen.

Die 3-Sphäre ist als Einheitssphäre der Quaternionen H eine Gruppe. Diese Gruppe operiert durch Konjugation x-->qx/q auf den Quaternionen , und zwar orthogonal. R ist eindimensionaler und Im(H) ist dreidimensionaler invarianter Unterraum. Auf diese Weise wird die 3-Sphäre zweifache Überlagerung der SO(3)=SO(Im(H)). Die Symmetriegruppe des Ikosaeders ist eine Untergruppe von SO(3) mit 60 Elementen. Sie besitzt eine zweifache Überlageung, genannt binäre Ikosaedergruppe, in der 3-Sphäre. Die 120 Elemente dieser Gruppe haben jeder12 nächste Nachbarn, daher sind die Dirichletzellen dieser 120 Punkte in der 3-Sphäre die schon angesprochenen 120 Dodekaeder.

Das kleinste Dodekaeder um den Mittelpunkt des stereographischen Bildes ist die Dirichletzelle der Identität. Die kürzeste Verbindung der Identität mit dem Mittelpunkt eines der zwölf nächsten Nachbarn legt einen Großkreis und damit eine Hopffaserung der 3-Sphäre fest. Die 120 Dodekaeder ordnen sich zu je 10 Stück auf 12 Hopfkreisen an. Die Hopfaktion bewegt die Dodekaeder weiter und dreht sie dabei ebenso schnell um den Großkreis wie sie die Mittelpunkte auf dem Großkreis voran bewegt. Der Quotient der 3-Sphäre durch die binäre Ikosaedergruppe kann daher als Identifizierungsraum vorgestellt werden, indem man gegenüberliegende Flächen eines Dodekaeders durch Translation und Drehung um 36 Grad identifiziert.

Dieser Quotient ist ein topologischer Raum, der die binäre Ikosaedergruppe als Fundamentalgruppe und die 3-Sphäre als universelle Überlagerung hat. Diese Fundamentalgruppe stimmt mit ihrer Kommutatoruntergruppe überein, so daß die erste Homologie des Quotienten null ist. Wegen Poincare-Dualität stimmt daher die Homologie des Quotienten mit der Homologie der 3-Sphäre überein. Der Quotient wird daher Homologiesphäre genannt.