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Schulbuchverbesserungen

Ich habe bisher alle Leserkommentare als Verbesserungen eingearbeitet - vielen Dank für die Unterstüzung. Ich werde das auch weiter versuchen.
Daher bitte bei erneutem Besuch Browser aktualisieren.
Ohne die ebenso ermutigende wie kritische Mitwirkung durch Bernhard Krötz wären die verlinkten Texte nicht entstanden.
Ab 2024 hat mir auch Tobias Glosauer mit einer großen Zahl von Anmerkungen sehr geholfen, die Lesbarkeit der von ihm angesehenen Texte zu verbessern.
Sollte jemand, der eine meiner Anfängervorlesungen gehört hat, diese Seite besuchen, so habe ich eine Bitte:
Ich habe mir mit jenen Vorlesungen große Mühe gegeben - könnten Sie sich mit einem Kommentar zu einem der unten verlinkten Texte revanchieren?

In dem Raum zwischen Schulalltag und Schulpolitik gibt es einen seit Jahrzehnten heftiger werdenden Streit. Die Stellungnahmen reichen von funkelnden Heilsversprechen bis zu deprimierenden Gegenwartsanalysen. Vermischt ist das Ganze mit massiven wirtschaftlichen Interessen. Ich kann mir nicht vorstellen, wie es in Deutschland zu einem Bildungskonsens kommen kann. Die unten verlinkten Texte sind kein Beitrag zu diesem Streit. Sie sollen engagierten Lehrerinnen und Lehrern helfen, die abgestürzte Schulbuchliteratur zu umgehen. Ich bemühe mich, so verständlich zu schreiben, dass auch frustrierte Studierende damit Lücken füllen können. Zu meiner Schulzeit hätten Abiturienten diese Texte lesen können, daher hoffe ich, dass sie auch für Wissenschaftsjournalisten interessant sind.

Meine mich motivierende Situationsbeschreibung:
Im Sport hat die Suche nach und die Förderung von Talenten außerordentliche Ausmaße. Auch in Musik hat noch niemand bestritten, dass es Begabungen gibt und dass sie gefördert werden sollten. In beiden Fällen findet die Förderung außerhalb der Schule statt, die Schule bietet nur etwas Gesundheitsunterstützung bzw. Allgemeinbildung. Leider hat sich zur Mathematik eine Mehrheitsmeinung entwickelt, die Kinder vor "zu mathematischen" Themen schützen will. Das Wort Beweis gilt in diesem Zusammenhang schon als zu mathematisch, also abschreckend. Ignoriert wird dabei, dass es Menschen, insbesondere schon Kinder, gibt, die an logischer Argumentation Vergnügen haben. Aus diesen können später Studierende von MINT-Fächern werden. Aber, der Schutz vor zu mathematischen Themen beraubt sie der Möglichkeit, die Voraussetzungen dafür zu erwerben. Denn wie sollen Brückenkurse an den Universitäten noch einen sicheren Umgang mit logischer Argumentation beibringen, wenn das bis zum Abitur vermieden worden ist? Schlimmstenfalls ist sogar das Vergnügen daran erloschen. - Ich glaube nicht, dass eine außerschulische Förderung, wie in Sport und Musik, zu einer für ein Exportland ausreichenden Anzahl von in den MINT-Fächern studierfähigen Studienanfängern führt.
Natürlich wird von der Politik formuliert, die Schülerinnen und Schüler sollten mathematisches Argumentieren lernen. Aber diese Worte haben ihren Sinn verloren. Wenn zwei Personen auf einander einreden, um sich gegenseitig von ihrer Meinung zu überzeugen, dann sagt man, dass sie "argumentieren". In einem mathematischen Argument kann dagegen nur verwendet werden, was mit Hilfe von Definitionen als Voraussetzungen formuliert wurde und die Folgerungen müssen logische Folgerungen sein. Das kommt in den Schulbüchern kaum mehr vor, in der Analysis überhaupt nicht. Aber Meinungen ändern sich im Laufe der Generationen oder schneller, logische Folgerungen nicht. Die Naturgesetze auch nicht. Deshalb sollte im Mathematikunterricht das logische Folgern aus Definitionen großes Gewicht haben.

Ich habe meine Kritik so ausgedrückt:
Aus Schulbüchern - wirklich!
Die Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung hatten 2021 andere Prioritäten und wollten diesen Text nicht als Weckruf an meine Kolleginnen und Kollegen publizieren.

2025 in zugelassenem Schulbuch gefunden:

Kann es Autoren geben, die dies wider besseres Wissen, z.B. für Geld, schreiben würden?
Oder bleibt nur die Möglichkeit zu glauben, dass die Autoren nicht verstanden, worüber sie schrieben?
Knoten sind in der Seefahrt eine Einheit für Geschwindigkeiten, nicht für Kräfte.
1 Knoten = 1,852 Kilomenter pro Stunde.
Die Autoren behaupten, dass die mit Stahlseilen verbundenen drei Schiffe mit drei verschiedenen Geschwindigkeiten in drei Richtungen fahren können.
Physiker addieren stattdessen die in den Seilen übertragenen Kräfte.

Um der beschriebenen Abkehr von der Mathematik entgegen zu wirken, möchte ich Texte mit zwei Zielen hier veröffentlichen. Erstens will ich missratene Schulbuchbehandlungen wichtiger Themen verbessern, zweitens falsch gesetzte Schwerpunkte korrigieren.
Ich bemühe mich um Vorschläge, die auch einzeln unmittelbar übernommen werden können. Daher gibt es in den Texten Wiederholungen. Hier sind Beispiele aus Analysis, Geometrie und Argumenten mit Zahlen:

Texte zu Themen der Schulmathematik - zu einer begründenden Mathematik

Die Platonischen Körper haben mindestens seit der Antike, vielleicht seit der Steinzeit, Menschen fasziniert. Ich hoffe, sie sind ein guter Einstieg.
Platonische Polyeder, vom Würfel aus konstruiert (12 Seiten, 21 Figuren)
      Diese Polyeder sind höchstens am Rande Schulstoff. Um sie zu verstehen, braucht man nur die Dreiecksgeometrie samt Pythagoras.
      Ich habe diesen Text geschrieben, weil mir Lehrer und Hochschulkollegen berichtet haben, wie viel Schwierigkeiten Abiturienten beim Lesen
      begründender Texte haben. Vielleicht kann die Behandlung eines so anschaulichen Themas helfen, sich wieder an das Lesen begründender
      Texte zu gewöhnen. Wegen der engen Verbindung zum Würfel wird auch die 3D-Vorstellungskraft verbessert.
      Zu Seite 8 Fig.12 Ikosaederkonstruktion: Parameter ändern (GeoGebra Programm)
      Als Ergänzung ein Programm, das Platonische Körper in Archimedische Polyeder verwandelt. (javascript mit Mausrotation und Anaglyphen)

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--------------- Analysis ----------------------
Analysis ohne Ungleichungen gibt es nicht.

A1: Die Erfolge der Definition von Ableitungen und die Leistungsfähigkeit des Monotoniesatzes werden unterschlagen: Was Newton geschaffen hat. (3 Seiten)
      Ein Vorwort.

A2: Die angebotene Behandlung der Exponentialfunktion hat mit Mathematik nichts mehr zu tun: Verbesserung. (13 Seiten)
      Zunächst: Einzelverbesserungen behandelter Themen, die unmittelbar übernommen werden können. TR-Experimente S.6.
      Dann: Zwei Zugänge zur Exponentialfunktion: a) Nach der Differentialrechnung rationaler Funktionen, durch Approximation (bis S.5)
      und b) vor der Differentialrechnung mit Definition auch für irrationale Exponenten (S.8-10), Ableitung S.11, ln(x) S.12.

A3: Die Definition von Grenzwerten gehört zum Verständnis der reellen Zahlen: Die Entwicklung der Grenzwertdefinition beginnt bei Archimedes. (5 Seiten + 7 Seiten Beispiele)
      Dieser systematische Text erklärt den Grenzwertbegriff sorgfältig. Es gibt berechenbare Grenzwerte, für die man mit dem 2000 Jahre alten Eudoxos Axiom auskommt.
      Und es gibt irrationale Grenzwerte, für die man die Vollständigkeit der reellen Zahlen braucht. In den Beispielen wird das Newtonverfahren besprochen. Siehe auch Z2 unten.

A4: Mir ist ein Rätsel, wie es dazu kommen konnte: Das wird heute als "Integralrechnung" verkauft. (Historische Einleitung, Kritik, Vorschläge) (5 Seiten)
      Sollte parallel zu den Schulbuchseiten gelesen werden, sonst glaubt man mir nicht.

A5: Dass dieses Werkzeug ignoriert wird, aber seine einfachsten Folgerungen als "anschaulich klare" Bagatellen auftreten, ist ein ernstes Missverständnis: Loblied auf den Monotoniesatz. (7 Seiten)
      Dieser Text bespricht auf der Schule mögliche Anwendungen des Monotoniesatzes und schlägt einen Beweis vor. Um die Lehrenden von der Leistungsfähigkeit des Satzes zu überzeugen,
      folgt (jenseits der Schule): Cantors beinahe-Gegenbeispiel (1 Seite) und zwei Beispiele (je 1 Seite) aus der numerischen Mathematik. (Interpolation, numerische Integration)

a6: Vorwort zu A6: Bevor Sinus und Kosinus reelle Funktionen sind. (3 Seiten)
A6: Ohne sin und cos gibt es leider keine Beschreibung rotierender Räder und der auftretenden Beschleunigungen und Kräfte: So schwierig waren sin und cos doch gar nicht. (11 Seiten, 10 Figuren)
      Zunächst wird besprochen, was man über sin und cos (nicht) weiss, wenn man die Definition am Einheitskreis kennt. Dann wird der Ableitungsbegriff vorausgesetzt, sin' und cos' hergeleitet
      und Konsequenzen aus der Kenntnis dieser Ableitungen gezogen. Der Text ist hoffentlich für sich allein lesbar.

A7: Anfang der Differentialrechnung mit Definitionen und logischer Argumentation: Von der Kreistangente bis zum Monotoniesatz. (17 Seiten)
      Dieser Anfang der Analysis folgt nicht dem Vorgehen der letzten 100 Jahre. Wie in meiner letzten Erstsemesteranalysis beginne ich mit Differentialrechnung.
      Da die verbreiteten Taschenrechner fast nur Approximationen ausgeben, halte ich das Verständnis von Approximationen für wichtiger als das von Grenzwerten.
      Ohne Grenzwerte, Vollständigkeit und Stetigkeit kommt man - unter Betonung von Approximationen - bis zu den Ableitungen der rationalen Funktionen und zu den Differentiationsregeln.
      Danach braucht man für Umkehrfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen zwingend die Vollständigkeit und damit Grenzwerte. Siehe dazu Text A3.
      Unter meinen Kollegen finden explizit nur der Analytiker Thomas Sonar (Sein Schulkommentar: Der langsame Tod der Analysis (2012)) und der Geometer Sebastian Hensel,
      dass dies ein guter Vorschlag für die Schule ist. Meine Erstsemester fanden das im WS 2002/3 auch.

A8: Ein Versuch, auf Schulniveau zu erklären, warum die Erfindung der Differentialrechnung ein sensationeller Erfolg war.
      Ältere Versionen dieses Textes sind von einem Schulbuchautor des vergangenen Jahrhunderts sowie von zwei heutigen Schülern gelesen und kommentiert worden. Vielen Dank.

--: Ohne Ungleichungen bleiben von der Analysis nur schwammige Worte: Hilfestellung zum Umgang mit Ungleichungen. (2 Seiten)
--: Man muss nicht alles beweisen, aber manchmal will man auf Fragen antworten: Ein umwegloser Beweis des n-dim Schrankensatzes. (und des 1-dim Monotoniesatzes)(2 Seiten)
--: Schon 1986 habe ich versucht, in den Semesterberichten Propaganda für den Monotoniesatz zu machen: Monotoniesatz und Transzendenz von e.
--: Meine letzte Analysis 1 (WS 2002/3) begann näher an der Schule als üblich und das Argumentationsniveau begann sanfter: Analysis mit gleichmäßigen Fehlerschranken.

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--------------- Geometrie ----------------------
Objekte und Beziehungen in der Geometrie sind so vielfältig und die Geschmäcker der Mathematikinteressierten sind so verschieden, dass ich einen für alle gültigen Königsweg durch die Geometrie nicht formulieren kann. Ich versuche, gegen das Eliminieren von Beweisen aus dem Mathematikunterricht zu kämpfen, weil ohne sie gar keine Mathematik übrig bleibt. Der Text ist also ein Weg durch geometrische Resultate, die ich schön finde und die ich mit logischen Argumenten verbunden habe. Das ist als Beispiel gemeint, nicht als Empfehlung, es unbedingt ebenso zu machen.

G1: Leider führen nicht alle Wege nach Rom, aber wenigstens einige: Anfangsargumente, Parallelenaxiom, Schnittpunktsätze, Strahlensatz. (17 Seiten, 22 Figuren)
      Auf den ersten 6 Seiten versuche ich zu erklären, dass das Verhalten von Geraden im Unendlichen nicht experimentell zugänglich ist und, was anders sein kann, als
      das Parallelenaxiom es formuliert. Die Astronomie lehrt jedenfalls nicht, dass das Universum eine Euklidische Umgebung der Erde ist!
      Eigentlicher Schulstoff beginnt auf Seite 7. Ich lege besonderen Wert auf die logische Verknüpfung der zu entwickelnden Themen.
      Video-Kommentar von Bernhard Krötz.

G2: Die Aussagen der Kreisgeometrie sind nicht offensichtlich. Umfangswinkel, Sehnenprodukte, Gelenkvierecke, Ellipsen (10 Seiten mit Figuren)
      Sie sind gute Übungsfelder für logisches Argumentieren.
      Animationen für vier Ellipsenkonstruktionen finden Sie hier. Die Konstruktionen liefern die Tangenten mit.

G3: Flächeninhalte vom Einheitsquadrat zu den Dreiecks- und Vierecksformeln (damit Strahlensatzbeweis) und zu Kreis und Parabel (14 Seiten, 14 Figuren)
      Zahlenwerte für Flächeninhalte entstehen durch Vergleich mit einem Einheitsquadrat. Deshalb erkläre ich auf den ersten zwei Seiten, dass der Flächeninhalt
      von Rechtecken mit irrationalen Seitenlängen einigen Aufwand erfordert. Der Flächeninhalt der Parabel ist hinzugefügt, weil die Argumentation mit
      ein- und umbeschriebenen Polygonen dieselbe ist wie beim Kreis - aber mit einem expliziten Ergebnis endet und nicht mit einer neuen Irrationalzahl.

G4: Einführung in Vektorraumaxiome und Vektorgeometrie. (30 Seiten)
      S.1-5 Überblick vom höheren Standpunkt. S.5-12 Lineare Gleichungssysteme. S.12-14 Lineare Abbildungen.
      S.15-22 Ebene Euklidische Geometrie. S. 23-30 Euklidische Geometrie des Raumes.

G5: Wer mehr Geometrie lernen will, als Geraden und Ebenen zu schneiden: Ein guter Anfang ist die Sphärische Geometrie" (22 Seiten mit 18 Figuren)
      1. Warum? 2. Abstände, 3. Dreiecke, 4. n-Ecke, 5. Landkarten, 6. Schnittpunktsätze, 7. Ellipsen, 8. Kurvenlängen, 9. Flächeninhalte, 10.Kurvenkrümmung, (11. Anhang)
      Als ich in Niedersachsen zur Schule ging, gehörte die sphärische Geometrie noch zum Schulstoff. Sie wurde abgeschafft, weil das Rechnen mit Tafeln der
      Logarithmen trigonometrischer Funktionen zu mühsam war. Inzwischen haben Taschenrechner das Multiplizieren mit Logarithmen und das Rechnen mit
      Funktionstafeln verdrängt, sodass sphärische Rechnungen nicht mehr mühsamer sind als Euklidische -- wenn man die sphärische Geometrie kennt.

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--------------- Argumente mit Zahlen ----------------------
Z1: Wieder entdeckt, geschrieben 1997, fast ungeändert: ggT und kgV haben die schlechte Behandlung in Schulbüchern nicht verdient. (8 Seiten)
Z2: 26 Jahre später: Ergänzung, um den Anfang ausführlicher und das Ende variabler zu machen. Argumentieren ist schön. (9 Seiten)
      Mit Propaganda für die dritte binomische Formel: Irrationalitätsbeweise S.3, Berechnung n-ter Wurzeln mit Prozentrechnung statt Analysis S.7-9.

Z3: Zu jeder endlichen Menge von Primzahlen kann man weitere finden. Variationen zu Euklids Primzahlsatz. (2 Seiten)
      Multiplikationsspiele im Zahlenraum bis 121.

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